L’infinito splendore della massa

Gen 30

L’infinito splendore della massa

foto01 Ciò che mi accingo a trattare in questo articolo è una caratteristica straordinaria dell’universo in cui viviamo che denominiamo massa. La massa è una grandezza fisica fondamentale definita all’interno della saldissima costruzione della meccanica classica come la misura dell’inerzia generata dai corpi al cambiamento del proprio stato di moto. Ma tale definizione è quella di una caratteristica massa identificata meglio dal termine massa inerziale. Questa massa è quella che compare in tutte le equazioni dinamiche di qualsivoglia argomento di fisica teorica. Per la sua definizione formale solitamente si usa il secondo principio di Newton $\vec F = m_i\cdot \vec a$ , dove con il termine $m_i$ si è indicato la grandezza scalare massa inerziale. Tale grandezza così definita ci indica quantitativamente l’attitudine di un corpo a resistere ai suoi cambiamenti di velocità. Quindi, per la sua definizione, è prima necessario introdurre il concetto classico di forza. Ma vi è un’altra definizionedi massa inerziale attribuibile ad Ernst Mach in cui non bisogna fare ricorso al concetto di forza. Questa definizione viene data in un sistema isolato formato da due corpi puntiformi interagenti tra loro, sfrutta per la sua esposizione il terzo principio di Newton (detto comunemente di azione-reazione) e si può riassumere in $\vec a_2 =\frac{m_1}{m_2}\cdot\vec a_1$ , dove si è indicato con il pedice 1 le grandezze relative al corpo 1 e con il pedice 2 quelle relative al corpo 2.

Consideriamo ora invece la legge di gravitazione universale introdotta nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687 da Newton:

$\vec F = -\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\cdot\hat{r}$ .

Tale legge, interpretata nella accezzione moderna della teoria dei campi, viene più correttamente espressa come:

$\vec g=-\frac{m_1}{r^2}\cdot\hat{r}$

$\vec F = m_2\cdot\vec g$

in cui abbiamo definito con $\vec g$ il campo gravitazionale, con il pedice 1 abbiamo definito la massa gravitazionale attiva che è proporzionale all’intensità del campo gravitazionale da esso generata e con il pedice 2 abbiamo indicato la massa gravitazionale passiva che è proporzionale all’interazione di ciascun corpo con il campo gravitazionale. Questa puntualizzazione viene trascurata nell’accezione del pensiero comune poichè il terzo principio di Newton dimostra che le due masse gravitazionali sono equivalenti e cioè compaiono sempre associate in un prodotto in ogni legge dinamica. Ma questa interpretazione della massa gravitazionale come carica del campo gravitazionale $\vec g$ (contemporaneamente genera e subisce gli effetti del campo gravitazionale) è assolutamente fondamentale per gli scopi sbalorditivi che andremo ora ad analizzare. Questa interpretazione è quella classica del campo gravitazionale definito come un campo vettoriale. Per i nostri scopi tralasceremo la sua interpretazione alla luce della relatività generale dove sarebbe più corretto definirlo invece come la deformazione dello spazio-tempo creata dalla presenza di corpi dotati di massa o di energia. Esso è rappresentato matematicamente dal tensore di Riemann legato attraverso la geometria differenziale ad un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà, detto tensore metrico.

Effettuatata tale rigorosa precisazione, prendiamo ora la seconda legge di Newton in cui compare la massa inerziale:

$\vec F = m_i\cdot \vec a$

e l’equazione già scritta in precedenza che interessa il campo gravitazionale:

$\vec F = m_g\cdot\vec g$

dove, con l’apice g si indica l’attributo di gravitazionale.

Eguagliando le due espressioni otteniamo:

$m_i\cdot\vec a = m_g\cdot\vec g$

e cioè:

$m_i =\frac{\vec g}{\vec a}\cdot m_g$ .

Questa equazione ci mostra la dipendenza funzionale della massa inerziale da quella gravitazionale.

Ora è possibile effettuare diversi esperimenti con il campo gravitazionale $\vec g$ costante (nello stesso luogo) verificando che l’accellerazione $\vec a$ non dipende dal corpo al quale si applica la forza di gravità, ma resta costante. Il primo che effettuò un tale esperimento fu Galileo Galilei tramite il piano inclinato. Lo stesso risultato fu trovato con più precisione prima da Newton con il pendolo e poi da Eötvös tramite la bilancia a torsione di Cavendish. Quindi

$\frac{\vec g}{\vec a}=K$

con K=costante. Ma dagli esperimenti effettuati si verifica una straordinaria proprietà: il campo gravitazionale è equivalente all’accellerazione di gravità considerata $\vec a$ e quindi $\vec g$ viene definito anche come accellerazione di gravità. Questa evidenza sperimentale porta a determinare il valore di K=1. Ciò significa che

$m_i = m_g$

e cioè lo straordinario risultato dell’equivalenza fra massa inerziale e massa gravitazionale.

Questa equivalenza implica la scomparsa della massa stessa dalle equazioni del moto e portò Einstein a formulare la teoria della relatività generale basata sul concetto che la traiettoria di un corpo pesante ha natura geometrica ed è assegnata individuando una legge che specifica una curva in funzione del tempo per ogni punto e per ogni velocità iniziale. La cosa più sbalorditiva è che la carica del campo gravitazionale è l’unica delle quattro interazioni fondamentali a presentare tale proprietà. E le leggi della dinamica, sia quelle che interessano il moto degli astri, sia quelle che interessano la nostra vita quotidiana sulla Terra, sarebbero totalmente diverse senza questa proprietà che, e qui sta proprio la sua portata straordinaria, non può essere il risultato di alcuna dimostrazione, ma esiste in quanto il nostro universo ha scelto, chissà quanto consapevolmente, di regalarcela tale.